Improving Multifrontal Methods by Means of Block Low-Rank Representations

Matrices coming from elliptic Partial Differential Equations (PDEs) have been shown to have a low-rank property: well defined off-diagonal blocks of their Schur complements can be approximated by low-rank products. Given a suitable ordering of the matrix which gives to the blocks a geometrical meaning, such approximations can be computed using an SVD or a rank-revealing QR factorization. The resulting representation offers a substantial reduction of the memory requirement and gives efficient ways to perform many of the basic dense algebra operations. Several strategies have been proposed to exploit this property. We propose a low-rank format called Block Low-Rank (BLR), and explain how it can be used to reduce the memory footprint and the complexity of direct solvers for sparse matrices based on the multifrontal method. We present experimental results that show how the BLR format delivers gains that are comparable to those obtained with hierarchical formats such as Hierarchical matrices (H matrices) and Hierarchically Semi-Separable (HSS matrices) but provides much greater flexibility and ease of use which are essential in the context of a general purpose, algebraic solver. Key-words: sparse direct methods, multifrontal method, low-rank approximations, elliptic PDEs ∗ Also available as IRIT report RT/APO/12/6. † INPT(ENSEEIHT)-IRIT, Toulouse, France ({patrick.amestoy,clement.weisbecker}@enseeiht.fr). ‡ Livermore Software Technology Corporation, Livermore, CA, United States ([email protected]). § EDF Recherche et Développement, Clamart, France ([email protected]). ¶ CNRS-IRIT, Toulouse, France ([email protected]). ‖ INRIA-LIP, Lyon, France ([email protected]). ha l-0 07 76 85 9, v er si on 1 16 J an 2 01 3 Utilisation de représentations de rang faible par blocs dans les méthodes multifrontales Résumé : Il a été démontré que les matrices provenant d’équations aux dérivées partielles elliptiques ont une propriété de rang faible: certains blocs hors diagonaux de leurs compléments de Schur peuvent être approchés par des produits de rang faible. Etant donnée une permutation de la matrice qui donne un sens géométrique aux blocs, de telles approximations peuvent être calculées avec une décomposition en valeurs singulières ou une factorisation QR. La représentation correspondante offre une réduction significative en termes de besoins mémoire tout en fournissant des moyens plus efficaces d’effectuer les opérations d’algèbre linéaire dense. Plusieurs stratégies ont été proposées dans la littérature pour exploiter cette propriété. Nous proposons un format Block Low Rank (BLR) et montrons comment il peut être utilisé pour réduire les besoins mémoire et la complexité des solveurs directs pour matrices creuses basées sur la méthode multifrontale. Des résultats expérimentaux montrent que le format BLR donne des gains comparables à ceux obtenus avec des formats hiérarchiques, tout en fournissant une plus grande flexibilité et facilité d’utilisation, qui sont essentielles dans un solveur algébrique général. Mots-clés : matrices creuses, méthodes directes, méthode multifrontale, approximation de rang faible, EDP elliptique ha l-0 07 76 85 9, v er si on 1 16 J an 2 01 3 Improving multifrontal methods by means of block low-rank representations 3 AMS subject classifications. 05C50, 65F05, 65F50